浅谈不等式在中学数学中的应用

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[size=18.0000pt]不等式在中学数学中的应用

摘要[size=21.3333px]：[size=12.0000pt]在中学数学中，无论是初中数学还是高中数学，都有对不等式的学习，[size=12.0000pt]均[size=12.0000pt]属于[size=12.0000pt]重要[size=12.0000pt]内容. 其中初中学习的不等式是高中不等式的基础，而高中不等式也是对初中不等式的深入和扩展.
[size=12.0000pt]不等式的内容广泛，在中学数学中[size=12.0000pt]的形式[size=12.0000pt]变化多样，运用情景也多种多样. 关于不等式在中学数学中究竟占着什么样的位置，以及课程标准对不等式学习的内容要求均是本论文要研究的问题.
[size=12.0000pt]本论文主结合初高中人教版数学教材研究初高中的不等式及其应用、不等式在数学中的地位、几类特殊不等式的证明以及不等式在中高考中的应用及其分析.
[size=12.0000pt]关键词[size=12.0000pt]：不等式 中学数学 应用
[size=16.0000pt]1[size=16.0000pt]引言
[size=12.0000pt]本论文主要研究不等式在中学数学的应用，即对中学不等式的应用做一些系统的归纳。在文中也阐述了一些不等式的证明方法及不等式的具体运用.
[size=12.0000pt]不等式在数学史上已出现几百年，对此的研究也层出不穷。不等式在中学数学中占有一定的比重，本论文就从数学课程标准对不等式的要求标准入手并进行一定的研究，再对不等式在初中高分析研究。
[size=12.0000pt]不等式主要是研究数之间的不等关系，也就是除了相等关系之外的数的关系。初中数学中，不等式只是比较简单基础的应用，主要对一元一次不等式的讨论研究，包括一元一次不等式的解及其在数轴上的表示、一元一次不等式组及其应用。高中数学中不等式的应用范围就扩大了，可以与多个知识点联系，比较常见的就是和集合、数列、三角函数等。这里主要是对一元二次不等式、二元一次不等式、基本不等式和柯西不等式进行研究。高中数学中对不等式的学习可以说是在初中学习的基础上的拓展，应用的加深。
[size=12.0000pt]  本论文中主要针对的是关于不等式的基础应用，对不等式的基础知识点进行的一个简答分析归纳。由于不等式是一种工具性的知识，所以不等式在实际运用中是非常常见的，并且多用于解决某些具体的问题，贯穿与我们整个日常生活之中。
[size=16.0000pt]2[size=16.0000pt]不等式在中学数学中的地位
[size=14.0000pt]2[size=14.0000pt].1课程标准对不等式的要求
[size=12.0000pt]  在初中数学课程标准中要求能够结合具体的问题，了解不等式的含义，探究不等式的基本性质；理解一元一次不等式，并在数轴上表示出它的解集；不等式组的解集在数轴上的表示；可以依据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题等.
[size=14.0000pt]2[size=14.0000pt].2不等式考点分析
[size=12.0000pt]  在日常生活中，数量既有相等关系，也存在大量的不等关系. [size=12.0000pt]考试中不等式和其他知识点的联系紧密，经常是一起出现，所以不等式考查的知识点广泛，经常与方程、函数、几何、数列等知识联系.这使不等式在考试中题目难度跨度大，范围[size=12.0000pt]广泛。[size=12.0000pt].
[size=12.0000pt]2[size=12.0000pt].2.1初中不等式考点分析
[size=12.0000pt]  据《义务教育数学课程标准》（2011年版），不等式出现在数与代数中第二部分方程与不等式[size=12.0000pt]—[size=12.0000pt]不等式与不等式组。要求（1）结合具体问题，了解不等式的基本意义，探索不等式的基本性质；（2）理解系数为数字的一元一次不等式，且能够在数轴表示出两个一元一次不等式构成的不等式组的解集；（3）能够在具体问题中提炼出相关的数量关系列出一元一次不等式，解决问题.
[size=16.0000pt]3[size=16.0000pt]不等式在初中数学的应用
[size=14.0000pt]3[size=14.0000pt].1[size=14.0000pt]一元一次不等式
[size=12.0000pt]  对于不等式的学习，主要要了解什么是一元一次不等式，如何求解一元一次不等式，以及在数轴上表示出不等式的解集[size=12.0000pt].[size=12.0000pt] 在整个初中阶段，不等式作为一种工具性的知识，对于确定取值范围方面有很大的用处，在判断三线段能否构成三角形方面也是运用的不等式知识[size=12.0000pt]. [size=12.0000pt]通过对一元一次不等式的学习，加强学生的数学思维，用数学的眼光去对待[size=12.0000pt]生活[size=12.0000pt].
[size=12.0000pt]3[size=12.0000pt].1.1一元一次不等式
[size=12.0000pt]一元一次不等式的概念
[size=12.0000pt]我们把用不等号连接，只含一个未知数，左右两边均为整式，并且未知数的最高次数为1，未知数的系数不为0，这样的式子叫做一元一次不等式. [size=12.0000pt]在求解不等式的过程中，一般步骤为去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为[size=12.0000pt]“[size=12.0000pt]1[size=12.0000pt]”[size=12.0000pt]，在最后化未知数系数为[size=12.0000pt]“[size=12.0000pt]1[size=12.0000pt]”[size=12.0000pt]时要注意不等号方向的变化.
[size=12.0000pt]3[size=12.0000pt].1.2一元一次不等式组
[size=12.0000pt]一元一次不等式组的概念
[size=12.0000pt]两个或两个以上含同一个未知数的一元一次不等式结合在一起就构成了一元一次不等式组，对于一元一次不等式组的解即为每一个不等式解的共同部分，意为交集. 特殊情况，当未知数取任意值时都不能使不等式成立，我们就说这个不等式组无解或者说它的解是空集.  
[size=12.0000pt]  依照解方程的过程得出解不等式的步骤及其中运用的发展. 类比方程，解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数的系数为“1”，依据的是不等式的三个基本性质；移项法则是不等号不变，把一项从不等式的一边移到另一边后要改变符号.
[size=12.0000pt]  关于一元一次不等式的应用方面上，在考试的题型上来说，多出现与应用题中，题目的难度适中，只要找出题目中的不等关系，列出不等式，就可以求出问题的答案. 一元一次不等式多与实际问题相联系，增强学生理论联系实际的能力，有助于学生在现实生活中遇到类似问题时知道用学习过的知识去解决，而不是根据毫无科学根据的想象，这样可以提升学生思维的逻辑性和想法的科学性.
[size=16.0000pt]4[size=16.0000pt]不等式在高中数学中的应用
[size=12.0000pt]高中关于不等式的学习，对于初中的所学的内容犹如森林和树木的存在，高中学习的内容比初中不等式涉及的内容广泛得多，不等式的类型也更加复杂，不等式的应用也更加广泛，不等式与其他知识点的联系也越来越密切. 不等式在高考中出现的频率也是比较大的，多与数列、三角函数、函数等内容一起出现. 在本章中主要研究高中数学中涉及的一些关于不等式的内容及其应用，如二元一次不等式、一元二次不等式、基本不等式、柯西不等式等.
[size=14.0000pt]4[size=14.0000pt].1一元二次不等式
[size=12.0000pt]一元二次不等式在高中的学习中是占有非常重要的地位，常与直角坐标系联系，考查学生数形结合的思想. 高中一元二次不等式的解法是初中学习的一元一次不等式解法的拓展. 一元二次不等式很好的反应了不等式和方程、函数之间的联系，其中包含了归纳、转化等数学思想，能够很好的培养创新精神、总结能力、计算能力等. 一元二次不等式与二次函数和二次方程之间联系的知识点覆盖多. 对于一元二次不等式解法的研究也是以后求解函数定义域和值域的重要工具.
[size=12.0000pt]4[size=12.0000pt].1.1一元二次不等式的概念
[size=12.0000pt]在学习一元二次不等式之前已学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质也有了初步的了解. 并且对于高中生，他们的逻辑思维能力已达到一定的高度，但是还是需要更上一层楼.
[size=12.0000pt]一元二次不等式，指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为“2”的不等式.
[size=14.0000pt]4[size=14.0000pt].2二元一次不等式
[size=12.0000pt]    二元一次不等式学习中主要体会其中的消元的思想，把复杂的问题简单化，体会二元一次不等式和实际生活的联系，多用于线性规划中. 这一部分的内容很好的反应不等式、函数、方程之间的联系. 二元一次不等式和其他知识点的联系程度密切，难度程度较大.
[size=12.0000pt]4[size=12.0000pt].2.1二元一次不等式的概念
[size=12.0000pt]我们把含有两个未知数，且未知数的最高次数为“1”的不等式叫做二元一次不等式. 有序数对对应着直角坐标平面中的点，因此一元二次不等式的解集可以看成直角坐标系中点的集合，就形成了一个平面区域.在这里，我们规定，当我们把直线画成虚线时，表示不包括区域的边界，若边界为实线则表示包括区域的边界. 其中不等式组的解表示各个不等式在平面直角坐标系中所表示的区域的重合部分.
[size=12.0000pt]4[size=12.0000pt].2.2二元一次不等式组[size=12.0000pt]        
[size=12.0000pt]一般地，几个二元一次不等式合在一起，就构成一个二元一次不等式组. 二元一次不等式组的解集即满足二元一次不等式组的有序实数对[size=12.0000pt]构成的集合.  
[size=12.0000pt]二元一次不等式组主要就是运用在线性规划中解决问题，与实际问题的联系紧密，通过对二元一次不等式的学习，可以增强学生理论联系实际的能力，训练学生的逻辑思维能力，提升学生的综合能力。
[size=14.0000pt]4[size=14.0000pt].3基本不等式和柯西不等式
[size=12.0000pt]这一节讨论研究的不等式是在高中数学中较常见且重要的内容. 这三类不等式应用的范围很广，与其他知识点的联合运用非常常见. 其中基本不等式常用于求函数的最值情况；柯西不等式常与代数、几何连用，也用于求最值的情况下；均值不等式也常用于求最值还有用来证明不等式以及恒成立问题和比较大小等.
[size=12.0000pt]4[size=12.0000pt].3.1基本不等式
[size=12.0000pt]对基本不等式的研究主要是关于它的来源、背景以及它的证明和简单应用. 应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同的角度探索研究基本不等式证明过程；在几何背景中抽象出基本不等式并求解.
[size=16.0000pt]5[size=16.0000pt]结语
[size=12.0000pt]关于不等式在中学数学中应用的研究，本文只是作了一个简单的总结归纳，对不同类型的不等式分开作比较，突出不同不等式之间的联系与区别；再是通过不同学段对不等式的研究比较，显示出不同年级对学习内容的不同要求，在广度与深度上的不同学习要求.  
[size=12.0000pt]在研究过程中，对初高中教科书中不等式的内容分析时可能存在不完全的情况，这是需要改进的地方；还有就是可能对不等式的内容总结不完全，存在遗漏的地方。
[size=12.0000pt]本文主要是对数学中常见的不等式类型进行分析研究，对于那些出现次数少，要求程度较低的内容没做研究。在本论文中虽对某些不等式作了简要的证明，但只是从一个或两个方面进行的证明。对于某些不等式的实际举例也较少，覆盖内容不够全面。
[size=12.0000pt]不等式的应用多用于实际生活中，经常用来确定函数的最大值或者最小值，还是一种工具性的知识，在学习过程中要注重不等式的实际训练以及理论联系实际的教学思想.