2010年兰州中考数学试题及答案

徐艳莉

2010年兰州市初中毕业生学业考试试卷

数   学（A）

注意事项：

1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将报考学校、姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡

的相应位置上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

一、选择题 (本题15小题，每小题4分，共60分. 在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有

A．1个

B．2个
  C．3个              D．4个

2.
函数y
＝＋中自变量x的取值范围是

A．x≤2
B．x＝3
C．x＜2且x
≠3
D．x
≤2且x≠3

3.
已知一个几何体的三种视图如左图所示，则这个

几何体是

A．圆柱               

B．圆锥

   C．球体         

   D．正方体

4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有

   A．4个          B．3个            C． 2个             D． 1个

5. 二次函数的图像的顶点坐标是            

A．（-1，8）
    B．（1，8）
       C．（-1，2）


D．（1，-4）

6. 已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是

A．外离          B．内切           C．相交            
D．外切

7.
将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为

A．15


B．28

C．29



D．34

第7题图                                        第8题图

8.
某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图. 则这组

数据的众数和中位数分别是[来源

   A．7、7
B． 8、7.5

C．7、7.5

D． 8、6[来源:学&科&网

9. 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为

A．

B．
    C．
     D．

10.
如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为

A．

    B．               C．

         D．

[来源:学,科,网

第10题图                               第11题图

11.
如图所示，菱形ABCD的周长为20，DE⊥AB，垂足为E，A=，则下列结论正确的个数有

①   ②    ③菱形的面积为    ④

A．
1个
B． 2个
C． 3个
       D． 4个

12.
上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是

  A．
B．

C．
D．

13. 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析

    式为，则b、c的值为

A . b=2， c=2
     B.  b=2，c=0
       C . b= -2，c=-1
D.  b= -3， c=2

14. 已知点（-1，），（2，），（3，）在反比例函数的图像上. 下列结论中正确的是

A．
B．
   C．
D．

15.
抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数

在同一坐标系内的图像大致为

第15题图[来源:学科网]

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）

16.
已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是
．

17.
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD
=
2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为


．

18.
如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是


．

第17题图                                第18题图

19. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影

子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是
米.

20.

第19题图  
第20题图

20.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为
米.

[三、解答题（本题8小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

21.（本题满分10分）

（1）（本小题满分4分）—+[来源

（2）（本小题满分6分） 已知：y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且

x＝1时，y＝3；x＝-1时，y＝1. 求x＝-时，y的值．

22.（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明

想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．

（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保

留作图痕迹）．

（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．

第22题图

23.（本题满分6分）小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两

人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，

将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并

按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两

张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．

（1）请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；

（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公

平的游戏规则．

24.（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，

  工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)

第24题图

25.（本题满分9分）如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1
的坐标为(2，0)．

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积

将如何变化？

（2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求

此反比例函数的解析式及A2点的坐标．

第25题图

  26.（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

            （1）求证：PC是⊙O的切线；

            （2）求证：BC=AB；

            （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若

              AB=4，求MN·MC的值.

                                                              第26题图                           

27.（本题满分10分）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，   

BD=8．

   （1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；

（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；

   （3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=

AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，，的代数式表示）．

第27题图

28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）

（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1                                图2

             第28题图

2010年兰州市初中毕业生学业考试试卷

  数学(A)参考答案及评分标准[来源:学#科#网]

审核人：张浩    校对：陈亮

一、 选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7[来源	8	9	10	11	12	13	14	15
答案	B	A	B	B	A	B	B	C	C	D	C	B	B	B	D

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）

16． 且m≠1
17．5           

18．             

19．6                          20．

三、解答题（本题8小题，共70分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

21.（本题满分10分）

（1）（本小题满分4分）

   解：原式=      ……………………………………………2分

           =
………………………………………………………3分

           =5  …………………………………………………………………………4分

（2）（本小题满分6分）

   解：解：y1与x2成正比例，y2与x成反比例

　　设y1＝k1x2，y2＝，y＝k1x2＋
…………………………………………………2分

把x＝1，y＝3，x＝-1，y＝1分别代入上式得   
……………………3分

　　　 ∴　
…………………………………………5分

当x＝-,　y＝2×(-)2＋＝-2＝-
………………………………6分

22. （本题满分6分）

(1)（本小题满分4分）

用尺规作出两边的垂直平分线                             …………………2分

作出圆                       
…………………………3分

⊙O即为所求做的花园的位置.（图略）            ……………………………4分

（2）（本小题满分2分）

解：∵∠BAC= ,AB=8米,AC=6米,  ∴BC=10米

     ∴  △ABC外接圆的半径为5米             ……………………………………5分

     ∴小明家圆形花坛的面积为2
平方米  .       …………………………… 6分

23.（本题满分6分）

(1)所有可能的结果如有表：

一共有16种结果，每种结果出现的

可能性相同．

…………………………………2分

和为偶数的概率为

所以小莉去上海看世博会的概率为
………………………………3分

(2)由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏

不公平，对哥哥有利．                  …………………………………………4分

游戏规则改为：若和为偶数则小莉得5分，若和为奇数则哥哥得3分，则游戏是

公平的．                      ……………………………………………………6分

     （游戏规则的修改有多种多样，阅卷老师视情况给分）

24.（本题满分8分）

（1）如图，作AD⊥BC于点D

……………………………………1分

Rt△ABD中，

AD=ABsin45°=4……2分

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°

∴AC=2AD=≈………………………3分

即新传送带AC的长度约为米．
………………………………………4分

（2）结论：货物MNQP应挪走．
……………………………………5分

解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4

……………………6分

在Rt△ACD中，CD=AC cos30°=

∴CB=CD—BD=≈2.1

∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9＜2
………………………………7分

∴货物MNQP应挪走．
…………………………………………………………8分

25. （本题满分9分）

（1）解：（1）△P1OA1的面积将逐渐减小．
…………………………………2分

（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形，

所以OC=1，P1C=，所以P1．
……………………………………3分

代入，得k=，所以反比例函数的解析式为．
……………4分

作P2D⊥A1 A2，垂足为D、设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，

所以P2．
……………………………………………………………6分

代入，得，化简得

解的：a=-1±
……………………………………………7分

∵a＞0   ∴
………………………………8分

所以点A2的坐标为﹙，0﹚
………………………………………………9分

26. （本题满分10分）

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO     

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直径

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径                      [来源:学科网]

  ∴PC是⊙O的切线          …………………………………………………4分

（2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P    [来源:学.科.网Z.X.X.K]

         ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

∴∠CBO=∠COB                 ……………………………………………5分

         ∴BC=OC

∴BC=AB             ………………………………………………………6分

         (3)连接MA,MB                     

         ∵点M是弧AB的中点

  ∴弧AM=弧BM  ∴∠ACM=∠BCM    ………7分

∵∠ACM=∠ABM  ∴∠BCM=∠ABM        

         ∵∠BMC=∠BMN

         ∴△MBN∽△MCB                  

∴

∴BM2=MC·MN        ……………………8分[来源:学科网]

∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM

         ∴∠AMB=90°,AM=BM

   ∵AB=4  ∴BM=    ………………………………………………………9分

∴MC·MN=BM2=8         ……………………………………………………10分

27. （本题满分10分）

      解：（1）∵AC⊥BD

∴四边形ABCD的面积

………………………………………2分

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E     …………………………………3分[来源:学+科+网]

∵四边形ABCD为平行四边形

在Rt⊿AOE中，

         ∴ …………4分

   ∴  ………………………………5分

   ∴四边形ABCD的面积 ……………………………………6分

   (3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F    …………7分

    在Rt⊿AOE中，

   ∴

  同理可得  

         ………………………………8分[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∴四边形ABCD的面积

28. （本题满分11分）

      解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）

故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为…………………………………………1分

由

得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P不在直线ME上.                              

已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，

设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分

由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.      

∴ 当时，点P不在直线ME上.  ……………………………………5分

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5

∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，

∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t
2+4t) …………………………………6分

∴ AN=-t
2+4t (0≤t≤3) ,

∴ AN-AP=(-t
2+4 t)- t=-t
2+3 t=t(3-t)≥0 ,     ∴ PN=-t
2+3 t

…………………………………………………………………………………7分

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t
2+3 t)]×2=-t
2+3 t+3…………………8分

当-t
2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分

而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5

综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分

当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）