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数学建模教学之我见
商河县贾庄中学 朱晓银
内容提要： 用通过计算得到的数学模型的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模…… 从方法论的角度看，数学建模是一种数学思想方法，是解决实际问题的一种数学工具；从具体教学的角度看，数学建模是一种活动……
关键词： 数学模型、 数学建模 、 数学建模的过程、 建模方法、数学建模教学
正文： 对于“数学建模教学”早在1999年商河县教委组织的一次论文交流会上，我便聆听过一位前辈的论文。但当时对于只有三年数学教龄、教材刚刚通过一遍的我来说，那些理论显得很深奥，离我的教学实际太遥远，总感觉能谈得上“数学建模教学”那得达到一定的境界。随着教学实践的开展及新课程标准的实施，在学习研究新课标的过程中，我发现新数学课标的前言部分有这样一句话，“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”，并多处谈及“数学建模”的问题。我意识到了新课标对“数学建模”的重视，开始收集、查阅有关的资料，尝试着去解读“数学建模”，并把学到的理论运用到自己的教学实践中，对“数学建模教学”有了自己的粗浅认识。现赘述如下，与老师们商榷。
一、一、数学建模的含义
当人们面对一个实际问题时，根据特有的内在规律做出一些必要的假设，运用一些适当的数学工具，恰当地运用数学语言、数学方法去近似的刻画实际问题，得到的一个数学结构，就是数学模型。用通过计算得到的数学模型的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。即建立数学模型的过程就称为数学建模。它类似于求方程的解的过程就叫解方程。从方法论的角度看，数学建模是一种数学思想方法，是解决实际问题的一种数学工具；从具体教学的角度看，数学建模是一种活动。
例1：北师大版数学教材九年级上册第56页习题2.5第2题：
某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场一边靠墙（墙长25米），另三边用木栏围成，木栏长40米。（1）鸡场的面积能达到180平方米吗？（2）鸡场的面积能达到200平方米吗？（3）鸡场的面积能达到250平方米吗？
如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由。
分析：如图所示：
若设与墙垂直的一边长为X米，则与墙平行的一边长为（40-2X）当X(40-2X)=180时解得X=10+ 或X=10-并由此得出平行于墙的一边的长为20-2 或20+2 而20+2 大于墙长，不符合实际问题应舍去从而确定墙的长与宽，后两问解法类似。
此例是一个很典型的一元二次方程的数学模型，许多数学问题及实际问题都可以通过一元二次方程模型来解决。如果此题中将问题改为怎样才能围成一个面积最大的鸡场？则又变成一个二次函数模型。
二、数学建模的过程
根据自己的教学体验，我认为数学建模的过程应分四步走：
（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
（2）模型建立：用数学语言来描述问题，并利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构，形成一定的数学模型（尽量用简单的数学工具）。
（3）模型求解：把获取的数据资料用数学方法进行分析，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。
（4）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
三、初中数学建模教学的意义
2004年国家教育部明确指出:“初中学段的教材应体现从具体的问题情境中抽象出数学问题,使用各种数学语言表达问题,建立数学关系式,获得合理的解答,理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程.……使学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型,判断解的合理性并将所学的主题应用到其他情境,进而获得相应的数学知识、方法与技能,为有需要的学生提供进一步了解该主题的途径.”相应地,近年出现的中考实际应用题逐年增加,这些建模题贴近生活,灵活性强,突出时代感,所涉及的主要有方程模型、函数模型、不等式模型、几何模型、统计模型等.这些题目运用数学模型解决实际问题,体现了数学建模思想,贯彻了新课程改革的理念:“在教学中,应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律,注重使学生经历从实际问题中建立数学模型，因此初中数学教学中进行数学建模教学有很重要的意义。主要体现在以下几个方面：
１．使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。
２．学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会问题，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。
３．以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。
４．以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实和数学活动经验)以及基本的思想方法和必要的应用技能。
四、初中数学建模教学的方法
数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。
（一）立足教材，发掘改编
1. 对教材中出现的应用题，可以改变设问方式，变换题设条件，互换条件结论，综合拓广类比成新的应用题。提高学生的建模能力，及识别各模型之间的细微差别的能力。
例2、北师大版数学教材九年级上册第80页第19题
一次会议上，每两个参加会议的人都相互握手一次，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？
分析:若设到会的有X人，则每人将和其他人握手一次，共计X(X-1)次，但在计算甲和乙握手的时候乙也就和甲握手了，因此，总握手次数减少一半，即X(X-1)／2=66此模型类似于数直线上的有限个点之间的线段条数，及直线形路段的票价问题。若将此题添加一问：“若与会人员互赠照片留念，共赠送多少张照片？”则变为类似于直线上有限个点形成射线的条数问题，及直线形路段的票数问题，条件的细微差别造成两模型的数量之间的二倍关系。通过对比分析使学生养成思维缜密的习惯。
2. 对教材中的纯数学问题，可以依照科学性，现实性，新颖性，趣味性，可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的应用问题。
例3、北师大版数学教材九年级上册第198页的概率问题，
利用计算器产生1—6的随机数（整数）求连续两次随机数相同的概率？
依据此两步等可能性试验的概率模型可以编拟下列问题：
（1）连续掷两枚骰子，求它们点数相同的概率？
（2）某口袋里放有编号为1—6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中，搅匀后再摸一球，求两次摸到的球相同的概率？
(3)转动如图所示的转盘两次，求两次所得的颜色相同的概率？
通过对这一组实际问题的分析，使学生进一步掌握此两步等可能性试验的概率模型。
3.充分利用教材中的“课题学习”进行建模教学。
因为“课题教学”本身的要求是(1)经历“问题情境——建立模型——求解——解释应用”的基本过程。（2）体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学的整体性的认识。(3)获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。(4)通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。所以“课题学习”是进行建模教学的很好的题材。
例4：北师大版数学教材七年级上册第235页
课题学习“制作一个尽可能大的无盖的长方体盒子”。
在此课题教学中训练学生学会从以下方面去思考：无盖的长方体盒子展开后是什么图形？用一张正方形纸怎样才能制作一个无盖的长方体？基本的操作步骤是生么？制成的无盖的长方体的体积应当怎样表达？什么情况下无盖的长方体的体积较大？如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的正方体盒子怎样去做？制作过程中会有哪些困难？通过这个课题的学习进一步丰富学生的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型的过程、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。
(二）深入生活联系实际，发现生活中的数学问题，强化应用意识，提高建模能力。
１. 学数学的一个基本目的是应用数学解决生活中的问题。目前很多学生还没有意识到生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题，如果教师能利用学生生活中的事情作背景编制应用题，必然会大大提高学生用数学的意识，以及学习数学的兴趣，提高建模能力。济南市的中考试题曾在此方面做过很好的引导，例如：
（2005年）21、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出y与s的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
（2005年）22、如图，某种旅行帽的帽沿接有两个塑料帽带，其中一个塑料帽带上有7个等距的小圆柱体扣，另一个帽带上扎有七个等距的扣眼，下表列出的是用第一扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关数据（单位：cm）：
（1）求帽圈直径y与扣眼号数x之间的一次函数关系式；
（2）小强的头围约为68.94cm，他将第一扣扣到第4号扣眼，你认为松紧合适吗？
2006年21题 元旦彩纸链问题，25题 简易废纸箱问题；
2007年21题郊游租车问题；
2008年4题奥运水立方占地面积问题，6题汶川地震救灾问题，21题教师节献花问题，22题医疗救助问题；
2009年5题全运会体育馆面积问题，7题慈善一日捐问题
2010年4题低碳世博、新能源问题
2011年2题茶叶盒与水杯的视图问题，4题托排球数的中位数问题，24题旅游人数问题
这些题目无论是函数模型，方程（组）模型，科学计数法模型还是统计、概率模型都源自于学生的生活，他们在解决这些生活问题时会有一种亲近感、征服欲，当他们成功的解答问题后会有一种自豪感、成就感，而所有这些对提高学生学习数学的兴趣都将有很大的帮助。因此我们教师要做生活中的有心人，善于用数学的眼光搜寻生活中的数学素材，使抽象枯燥的数学生活化。
２. 以社会热点问题出发，编拟应用题，介绍建模方法。
采用社会热点问题做试题背景，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且有助于他们日后主动以数学的意识、方法、手段处理问题。
例5： 1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率是20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代收。某人在1999年11月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时可净得本金和利息共计。
a、10225元 b、10180元 c、11800元 d、12250元
简析：到期所得本金和利息=总本金+利息-利息税，得答案11800元。
例6 ：市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解：平均每次降价的百分率为x，
200（1-x）2 =128，
（1-x）2 =0.64，
1-x=±0.8，
x =1.8（舍去），
x =0.2=20％。
分析：本题以当前群众反映十分强烈的老百姓看病难、看病贵的问题为背景，从政府采取药品降价措施体现出政府的亲民政策，使人们相信 “看病难”问题将会解决。
总之数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。数学建模教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程，我们广大教师应不断研究新情况、新问题，努力探索、培养学生建模能力的教学方法，做到通过建模教学，提高他们学习数学的兴趣，培养其应用意识和创造精神，从而形成遇到问题用数学的眼光去观察和思考的良好习惯。
以上浅识拙见，不当之处敬请有识之士批评指正。
参考文献：《数学课程标准》
《中学数学教学参考》2010年11期
《山东教育》2011 年7.8期
《中学生数理化》2009年10期
《济南市中考数学试题汇编》
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发表于 2016-4-18 19:44:59
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